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早稲アカ・四谷大塚予習シリーズ算数下対策ポイント 5年生（第3回）

＜算数　5年上　第3回＞ 　第3回は『割合の利用』です。今回は、4年下で学習した割合の復習と、その応用、および、百分率(パーセント、％)や歩合(ぶあい、○割○分)といった、割合のいろいろな表し方を学習します。なお、分数は、分子/分母の形で表します。

＜今回のポイント＞ 　小数や分数で表された割合を、百分率や歩合に直すこと、またその逆がスムーズにできるよう、トレーニングしておきましょう。加えて、相当算、割合の合成、還元算など、複雑な割合の問題を学習します。問題の内容を線分図で整頓することが大切です。

【対策ポイント1】 　割合の応用である相当算を学習します。 　相当算とは、「もとにする量×割合＝くらべる量」において、くらべる量と割合から、もとにする量を求める問題です。線分図をかいて条件を整理して考えます。このとき、線分の上の部分に、実際の数量（くらべる量）を、線分の下の部分に割合をかいて整理します(上と下が逆でもかまいません)。線分の上下で、実際の数量と割合のそろう部分に注目して、「実際の数量÷割合＝もとにする量」を求めます。なお、分数は、分子/分母の形で表します。

[例題2] 　相当算の基本となる問題です。予習シリーズ32ページの解き方にある線分図を参照してください。 　ある本を、全体のページ数の6割(＝0.6)よりも8ページ少なく読んだところ、44ページ残りました。もとにする量の0.6、の残りの部分に注目します。0.6の残りは1－0.6＝0.4で、この部分が、44－8＝36という、くらべる量に相当しています。（線分図をかいておくと、わかりやすくなります。）もとにする量である、本の全部のページ数を□として整頓すると、□×(1－0.6)＝36となりますので、□＝32÷2/5＝80より、この本は全部で、80ページあります。

[例題3] 　少し難しいタイプの相当算です。 　このタイプの問題を頭の中だけで解こうとすると、間違えてしまうことが多くなります。線分図をかいて、条件をしっかりと整頓することが大切になります。予習シリーズ33ページの解き方にある線分図を参照してください。

　もとにする量は5年生全体の人数で、この人数の40％(＝0.4)と45％(＝0.45)の合計である85％(＝0.85)を除く部分が、7＋11＝18人という、くらべる量に相当することに注目します。もとにする量を□として整頓すると、□×(1－0.85)＝18となりますので、□＝18÷0.15＝120より、5年生は全部で120人です。

【対策ポイント2】 　還元算、割合の合成、マルイチ算について、学習します。それぞれの内容説明については、予習シリーズ33ページの青いわくで囲まれた部分を参照してください。

[例題4] 　還元算について学習します。還元算とは、後から前にもどしていく問題です。途中に実際の数量の入った割合が含まれる場合に使われます。予習シリーズ34ページの解き方にある線分図を参照してください。

　持っているお金の40％(＝0.4)より100円多い金額でお弁当を買い、残りのお金の35％（＝0.35）でケーキを買うと、520円が残るという問題です。最後の関係である、お弁当を買った後の所持金の0.35でケーキを買った残りが520円とわかっているところから考えます。 　まずお弁当を買った後の所持金を□円として、□×(1－0.35)＝520と整頓できます。□＝520÷0.65＝800より、お弁当を買った後の所持金は800円とわかります。800＋100＝900円が、ゆきさんのはじめの所持金から0.4を使った残りとなります。ゆきさんのはじめの所持金を〇とすると、〇×(1－0.4)＝900と整頓できますので、〇＝900÷0.6＝1500より、ゆきさんのはじめの所持金は、1500円です。 　このように、部分、部分で相当算を使って後ろからもどしていく解き方もマスターしましょう。

[例題5] 　割合の合成により、新たな割合を求めて、相当算を解く問題です。割合の合成とは、割合の割合とも言われるものです。 　例えば、Aの0.5の量の、(さらに)0.2の量はAのどのくらいの割合になるか、などを求める問題です。この例では、A×0.5×0.2＝A×0.1より、Aの0.1の量となります。もとにする量がことなりますので、くれぐれも割合をたし算しないように気をつけてください。予習シリーズ35ページの解き方にある線分図を参照してください。

　ある本を4日間で読みます。1日目に全体の1/3、2日目に全体の1/5、3日目は1日目に読んだページ数の3/4、4日目は39ページを読みました。3日目だけ、もとにする量がちがいます。この割合を、もとである全体に対する割合に直します。ここが、割合の合成で、もとにする量(この本の全ページ数)を1とすると、1日目に読んだページ数は1/3で、その3/4は、1/3×3/4＝1/4です。結果、3日間で読んだページ数は、割合で表すと、1/3＋1/5＋1/4＝47/60です。本全体のページ数を□として、□×(1－47/60)＝39と整頓できます。よって、□＝39÷13/60＝180より、この本は全部で180ページです。

早稲アカ・四谷大塚予習シリーズ算数下対策ポイント 5年生（第2回）

＜算数　5年上　第2回＞ 　第2回は『いろいろな図形の面積』です。面積公式の確認と復習、および、面積の求め方のくふうを学習します。また、三角形の合同という内容にもふれます。 　平均＝数量の合計÷個数、とその逆算である、数量の合計(のべ量)＝平均×個数、があります。また、複雑な平均の問題では、面積図を利用します。

＜今回のポイント＞ 　面積計算では、今回の内容は重要です。各問題における工夫をしっかり身につけましょう。例題1、2については、公式の使い方をしっかり復習してください。

【対策ポイント1】 　面積の求め方のくふうを考えます。

[例題3] 　底辺、高さの不明な三角形の面積を求めます。予習シリーズ21ページの解き方にある図を参照してください。 　解き方の図にあるABを底辺と考えます。長さは、14－3＝11cmです。このABにより、三角形をアとイに分けて面積を求めます。ところが、それぞれの高さが不明です。ここで、アの三角形の高さを〇とし、イの三角形の高さを△として、面積を考えますと、ア＝11×〇÷2、イ＝11×△÷2となりますので、分配法則を利用して、ア＋イ＝11×(〇＋△)÷2とまとめられます。この〇＋△は、長方形のたてである10cmですから、ア＋イ＝11×10÷2＝55より、三角形の面積は、55平方cmです。 　この考えをまとめると、予習シリーズ21ページにある青い四角いわくの内容になります。ぜひ、使えるようにしましょう。

[例題4] 　正方形の対角線を利用して、面積を求めます。 (1)　20cmの対角線が与えられた正方形の面積を求めます。正方形は、ひし形でもありますので、「ひし形の面積＝対角線×対角線÷2」により、20×20÷2＝200 より、この正方形の面積は、200平方cmです。 (2)　四分円の面積を求めます。「四分円の面積＝半径×半径×円周率÷4」です。この問題では、半径は正方形の1辺の長さですが、不明です。ここがポイントです。半径が不明でも、半径×半径の値がわかればよいのです。この半径×半径は、言いかえると、1辺×1辺ですから。正方形の面積ということになります。よって、200×3.14÷4＝50×3.14＝157 より、この四分円の面積は、157平方cmです。

【攻略ポイント2】 　三角形の合同について、学習します。予習シリーズ22、23ページの説明、合同条件をよく読み、理解しましょう。

[例題5] 　合同を利用して、辺の長さや角の大きさを求めます。問題文より、等しい長さ、角を読み取りましょう。 (1)　三角形ABCは正三角形です。よって、3つの辺は等しい長さで、3つの角は等しい角です。AB＝BC、BD＝CEです。また、角ABD=角BCE＝60度です。ですから、三角形の合同条件の2番目に合いますので、三角形ABDと合同な三角形は、三角形BCEです。 (2)　(1)の結果、三角形ABDの角BADの大きさは、三角形BCEの角CBEと等しい24度です。三角形の外角の定理により、アの角度は、角BADと角ABDの和となります。角BAD＝24度、角ABD＝60度ですから、24＋60＝84 より、角アの大きさは、84度です。

【対策ポイント3】 　多少レベルの高い問題に挑戦しましょう。

[例題5] 　おうぎ形の中の部分的な面積を求めます。予習シリーズ24ページの解き方にある図を参照してください。ア＋ウの直角三角形と、イ＋ウの直角三角形は、半径であるAOとOBは等しい長さです。また、直角三角形であることから、直角以外の2つの角はそれぞれ等しい角度です。よって、三角形の合同条件の3番目に合いますので、合同になります。合同な三角形の面積は等しいので、面積(ア＋ウ)＝面積(イ＋ウ)ですから、面積ア＝面積イになります。色のついた部分の面積(イ＋エ)において、イをアにかえて、面積(ア＋エ)を求めればよいことになります。つまり、半径6cm、中心角65度のおうぎ形の面積を求めます。6×6×3.14×65/360＝4×3.14＝12.56 より、求める面積は、12.56平方cmです。