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早稲アカ・四谷大塚予習シリーズ算数下対策ポイント 5年生（第3回）

＜算数　5年上　第3回＞ 　第3回は『割合の利用』です。今回は、4年下で学習した割合の復習と、その応用、および、百分率(パーセント、％)や歩合(ぶあい、○割○分)といった、割合のいろいろな表し方を学習します。なお、分数は、分子/分母の形で表します。

＜今回のポイント＞ 　小数や分数で表された割合を、百分率や歩合に直すこと、またその逆がスムーズにできるよう、トレーニングしておきましょう。加えて、相当算、割合の合成、還元算など、複雑な割合の問題を学習します。問題の内容を線分図で整頓することが大切です。

【対策ポイント1】 　割合の応用である相当算を学習します。 　相当算とは、「もとにする量×割合＝くらべる量」において、くらべる量と割合から、もとにする量を求める問題です。線分図をかいて条件を整理して考えます。このとき、線分の上の部分に、実際の数量（くらべる量）を、線分の下の部分に割合をかいて整理します(上と下が逆でもかまいません)。線分の上下で、実際の数量と割合のそろう部分に注目して、「実際の数量÷割合＝もとにする量」を求めます。なお、分数は、分子/分母の形で表します。

[例題2] 　相当算の基本となる問題です。予習シリーズ32ページの解き方にある線分図を参照してください。 　ある本を、全体のページ数の6割(＝0.6)よりも8ページ少なく読んだところ、44ページ残りました。もとにする量の0.6、の残りの部分に注目します。0.6の残りは1－0.6＝0.4で、この部分が、44－8＝36という、くらべる量に相当しています。（線分図をかいておくと、わかりやすくなります。）もとにする量である、本の全部のページ数を□として整頓すると、□×(1－0.6)＝36となりますので、□＝32÷2/5＝80より、この本は全部で、80ページあります。

[例題3] 　少し難しいタイプの相当算です。 　このタイプの問題を頭の中だけで解こうとすると、間違えてしまうことが多くなります。線分図をかいて、条件をしっかりと整頓することが大切になります。予習シリーズ33ページの解き方にある線分図を参照してください。

　もとにする量は5年生全体の人数で、この人数の40％(＝0.4)と45％(＝0.45)の合計である85％(＝0.85)を除く部分が、7＋11＝18人という、くらべる量に相当することに注目します。もとにする量を□として整頓すると、□×(1－0.85)＝18となりますので、□＝18÷0.15＝120より、5年生は全部で120人です。

【対策ポイント2】 　還元算、割合の合成、マルイチ算について、学習します。それぞれの内容説明については、予習シリーズ33ページの青いわくで囲まれた部分を参照してください。

[例題4] 　還元算について学習します。還元算とは、後から前にもどしていく問題です。途中に実際の数量の入った割合が含まれる場合に使われます。予習シリーズ34ページの解き方にある線分図を参照してください。

　持っているお金の40％(＝0.4)より100円多い金額でお弁当を買い、残りのお金の35％（＝0.35）でケーキを買うと、520円が残るという問題です。最後の関係である、お弁当を買った後の所持金の0.35でケーキを買った残りが520円とわかっているところから考えます。 　まずお弁当を買った後の所持金を□円として、□×(1－0.35)＝520と整頓できます。□＝520÷0.65＝800より、お弁当を買った後の所持金は800円とわかります。800＋100＝900円が、ゆきさんのはじめの所持金から0.4を使った残りとなります。ゆきさんのはじめの所持金を〇とすると、〇×(1－0.4)＝900と整頓できますので、〇＝900÷0.6＝1500より、ゆきさんのはじめの所持金は、1500円です。 　このように、部分、部分で相当算を使って後ろからもどしていく解き方もマスターしましょう。

[例題5] 　割合の合成により、新たな割合を求めて、相当算を解く問題です。割合の合成とは、割合の割合とも言われるものです。 　例えば、Aの0.5の量の、(さらに)0.2の量はAのどのくらいの割合になるか、などを求める問題です。この例では、A×0.5×0.2＝A×0.1より、Aの0.1の量となります。もとにする量がことなりますので、くれぐれも割合をたし算しないように気をつけてください。予習シリーズ35ページの解き方にある線分図を参照してください。

　ある本を4日間で読みます。1日目に全体の1/3、2日目に全体の1/5、3日目は1日目に読んだページ数の3/4、4日目は39ページを読みました。3日目だけ、もとにする量がちがいます。この割合を、もとである全体に対する割合に直します。ここが、割合の合成で、もとにする量(この本の全ページ数)を1とすると、1日目に読んだページ数は1/3で、その3/4は、1/3×3/4＝1/4です。結果、3日間で読んだページ数は、割合で表すと、1/3＋1/5＋1/4＝47/60です。本全体のページ数を□として、□×(1－47/60)＝39と整頓できます。よって、□＝39÷13/60＝180より、この本は全部で180ページです。

早稲アカ・四谷大塚予習シリーズ算数下対策ポイント 5年生（第2回）

＜算数　5年上　第2回＞ 　第2回は『いろいろな図形の面積』です。面積公式の確認と復習、および、面積の求め方のくふうを学習します。また、三角形の合同という内容にもふれます。 　平均＝数量の合計÷個数、とその逆算である、数量の合計(のべ量)＝平均×個数、があります。また、複雑な平均の問題では、面積図を利用します。

＜今回のポイント＞ 　面積計算では、今回の内容は重要です。各問題における工夫をしっかり身につけましょう。例題1、2については、公式の使い方をしっかり復習してください。

【対策ポイント1】 　面積の求め方のくふうを考えます。

[例題3] 　底辺、高さの不明な三角形の面積を求めます。予習シリーズ21ページの解き方にある図を参照してください。 　解き方の図にあるABを底辺と考えます。長さは、14－3＝11cmです。このABにより、三角形をアとイに分けて面積を求めます。ところが、それぞれの高さが不明です。ここで、アの三角形の高さを〇とし、イの三角形の高さを△として、面積を考えますと、ア＝11×〇÷2、イ＝11×△÷2となりますので、分配法則を利用して、ア＋イ＝11×(〇＋△)÷2とまとめられます。この〇＋△は、長方形のたてである10cmですから、ア＋イ＝11×10÷2＝55より、三角形の面積は、55平方cmです。 　この考えをまとめると、予習シリーズ21ページにある青い四角いわくの内容になります。ぜひ、使えるようにしましょう。

[例題4] 　正方形の対角線を利用して、面積を求めます。 (1)　20cmの対角線が与えられた正方形の面積を求めます。正方形は、ひし形でもありますので、「ひし形の面積＝対角線×対角線÷2」により、20×20÷2＝200 より、この正方形の面積は、200平方cmです。 (2)　四分円の面積を求めます。「四分円の面積＝半径×半径×円周率÷4」です。この問題では、半径は正方形の1辺の長さですが、不明です。ここがポイントです。半径が不明でも、半径×半径の値がわかればよいのです。この半径×半径は、言いかえると、1辺×1辺ですから。正方形の面積ということになります。よって、200×3.14÷4＝50×3.14＝157 より、この四分円の面積は、157平方cmです。

【攻略ポイント2】 　三角形の合同について、学習します。予習シリーズ22、23ページの説明、合同条件をよく読み、理解しましょう。

[例題5] 　合同を利用して、辺の長さや角の大きさを求めます。問題文より、等しい長さ、角を読み取りましょう。 (1)　三角形ABCは正三角形です。よって、3つの辺は等しい長さで、3つの角は等しい角です。AB＝BC、BD＝CEです。また、角ABD=角BCE＝60度です。ですから、三角形の合同条件の2番目に合いますので、三角形ABDと合同な三角形は、三角形BCEです。 (2)　(1)の結果、三角形ABDの角BADの大きさは、三角形BCEの角CBEと等しい24度です。三角形の外角の定理により、アの角度は、角BADと角ABDの和となります。角BAD＝24度、角ABD＝60度ですから、24＋60＝84 より、角アの大きさは、84度です。

【対策ポイント3】 　多少レベルの高い問題に挑戦しましょう。

[例題5] 　おうぎ形の中の部分的な面積を求めます。予習シリーズ24ページの解き方にある図を参照してください。ア＋ウの直角三角形と、イ＋ウの直角三角形は、半径であるAOとOBは等しい長さです。また、直角三角形であることから、直角以外の2つの角はそれぞれ等しい角度です。よって、三角形の合同条件の3番目に合いますので、合同になります。合同な三角形の面積は等しいので、面積(ア＋ウ)＝面積(イ＋ウ)ですから、面積ア＝面積イになります。色のついた部分の面積(イ＋エ)において、イをアにかえて、面積(ア＋エ)を求めればよいことになります。つまり、半径6cm、中心角65度のおうぎ形の面積を求めます。6×6×3.14×65/360＝4×3.14＝12.56 より、求める面積は、12.56平方cmです。

N早稲アカ・四谷大塚予習シリーズ算数下対策ポイント 5年生（第1回）

＜算数　5年上　第1回＞ 　第1回は『倍数と約数の利用』です。4年生で学習した内容の確認と発展的な内容を学習します。A÷B＝Cのわり算において、AはBやCの倍数、BやCはAの約数、ということを基本に考えていきます。

＜今回のポイント＞ 　問題の中の条件を整頓して、約数を考えるのか倍数を考えるのかを判断できるようにしましょう。また、2つ以上の整数に共通な倍数や約数を求めるには、何に注目すればよいかを学習していきましょう。

【対策ポイント1】 　倍数と約数について、基本を確認します。

[例題2] 　あまりのあるわり算が2つあり、共通のわる数を求める問題です。 　問題内容を式にすると、148÷a＝〇あまり4、200÷a＝△あまり2です。あまりを無くして考えますと、144÷a＝〇、198÷a＝△となりますので、aは144と198の共通の約数、つまり公約数です。 　ここで、大切なことは、公約数は最大公約数の約数である、ということです。公約数を考えるときは、最大公約数を求めて、その約数を求めれば、公約数を求めたことになります。 　そこで、連除法により、144と198の最大公約数を求めると、18です。よって、18の約数は、{1、2、3、6、9、18}ですが、ここにも注意が必要です。あまりが4と2ですので、わる数は、あまりより大きくなければなりませんから、4以下はのぞきます。よって、わる数aは、{6、9、18}です。

[例題3] 　公倍数の問題です。 　18と42の共通の倍数、つまり公倍数を求めます。公倍数は、最小公倍数の倍数ですから、まず連除法により、18と42の最小公倍数を求めますと、126です。 (1)　小さい方から5番目の整数は、126を5倍した数ですので、126×5＝630 より、求める整数は、630です。 (2)　126の倍数で、3000に近い整数を求めます。3000÷126＝23あまり102 より、3000－102＝2898 が求まりますが、「最も近い整数」 は、3000をこえてもかまいませんので、2898＋126＝3024 も考えて、より3000に近い方を答えとします。ここがポイントです。結果として、3000に最も近い整数は、3024です。

【対策ポイント2】 　わり算のあまりと等差数列、について学習します。

[例題4] 　等差数列と、倍数の関係を考える問題です。3でわると2あまる数を、小さい方から求めると、 　　2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、…… と、はじめの数が2で、公差が3の等差数列となります。 　4でわると1あまる数も、同様に小さい方から求めると、 　　1、5、9、13、17、21、25、29、…… と、はじめの数が1で、公差が4の等差数列となります。 (1)　上の2組の数列に出てくる共通の数、5、17、29、が答えです。ここで、5、17、29、…… について考えてみましょう。これは、5の次の数として、公差3の倍数と公差4の倍数ずつ増える数列ですので、3と4の最小公倍数である12ずつ増えていくことによるものです。 (2)　(1)より、はじめの数が5で、公差が12の等差数列になっていますので、5＋12×(20－1)＝233 より、小さい方から20番目の整数は、233です。 (3)　3けたの最大は、999ですから、これに近い整数を求めます。5＋12×(〇－1)＝1000 として、逆算すると、〇＝(1000－5)÷12＋1＝82.…＋1＝83.… となりますので、〇＝83として計算すると、5＋12×(83－1)＝989 より、3けたで最も大きい整数は、989です。

【対策ポイント3】 　周期に着目します。

[例題6] 　最小公倍数を利用して周期を考える問題です。 　2台の機械A、Bがあり、Aは6分ごとに、Bは8分ごとに1個の製品を作ります。6分と8分の最小公倍数は24分で、この24分間に製品を何個作れるかを、1つの周期と考えます。機械Aは、24÷6＝4個、機械Bは、24÷8＝3個 より、1周期に合計7個の製品を作ることができます。200÷7＝28周期あまり4 より、あまりの4個を作る時間を調べます。 　予習シリーズ12ページの解き方にある図を参照してください。16分で4個作ることがわかります。このような図を自分でかくことも必要です。よって、24分を28周期と、16分かかりますので、24×28＋16＝688 より、688分かかりますから、結果として、11時間28分後です。